2 Fragen zu Symmetrisches Optimum

Das symmetrische Optimum ist eine Methode zur Einstellung von Regelungsparametern, die oft in der Regelungstechnik verwendet wird, um ein gutes dynamisches Verhalten zu erreichen. Hier ist eine allgemeine Herleitung zur Bestimmung der Regelungsparameter für ein Gleichstrom-Antriebssystem: 1. **Systembeschreibung:** Ein Gleichstrom-Antriebssystem kann oft durch eine Übertragungsfunktion erster oder zweiter Ordnung beschrieben werden. Nehmen wir an, das System hat die Übertragungsfunktion: \[ G(s) = \frac{K}{(T s + 1)(T_m s + 1)} \] wobei \( K \) die Verstärkung, \( T \) die Zeitkonstante des Motors und \( T_m \) die mechanische Zeitkonstante ist. 2. **Reglerstruktur:** Für das symmetrische Optimum wird oft ein PID-Regler verwendet, dessen Übertragungsfunktion lautet: \[ G_R(s) = K_p \left(1 + \frac{1}{T_i s} + T_d s \right) \] wobei \( K_p \) der Proportionalfaktor, \( T_i \) die Integrationszeit und \( T_d \) die Differenzzeit ist. 3. **Offene Übertragungsfunktion:** Die offene Übertragungsfunktion des Regelkreises ist: \[ G_{offen}(s) = G_R(s) \cdot G(s) = K_p \left(1 + \frac{1}{T_i s} + T_d s \right) \cdotfrac{K}{(T s + 1)(T_m s + 1)} \] 4. **Symmetrisches Optimum:** Das Ziel des symmetrischen Optimums ist es, die Phasenreserve zu maximieren und eine symmetrische Amplitudengangskurve zu erreichen. Dies wird erreicht, indem die Polstellen des offenen Regelkreises so platziert werden, dass sie symmetrisch um die imaginäre Achse liegen. 5. **Parameterbestimmung:** Die Parameter \( K_p \), \( T_i \) und \( T_d \) werden so gewählt, dass die Phasenreserve maximiert wird. Dies führt zu den folgenden Beziehungen: \[ T_i = 4 T \] \[ T_d = \frac{T}{4} \] \[ K_p = \frac{1}{K} \cdot \frac{T_m}{4 T} \] 6. **Zusammenfassung:** Die Regelungsparameter für das symmetrische Optimum eines Gleichstrom-Antriebssystems sind: \[ K_p = \frac{T_m}{4 K T} \] \[ T_i = 4 T \] \[ T_d = \frac{T}{4} \] Diese Herleitung zeigt die grundlegenden Schritte zur Bestimmung der Regelungsparameter des symmetrischen Optimums für ein Gleichstrom-Antriebssystem. Es ist wichtig, die spezifischen Parameter des Systems zu kennen, um die genauen Werte für \( K_p \), \( T_i \) und \( T_d \) zu berechnen.

Das symmetrische Optimum ist eine Methode zur Einstellung der Regelungsparameter eines PID-Reglers, um ein optimales dynamisches Verhalten zu erreichen. Diese Methode wird häufig in der Regelungstechnik, insbesondere bei elektrischen Antriebssystemen, angewendet. Hier ist eine allgemeine Herleitung zur Bestimmung der Regelungsparameter: 1. **Übertragungsfunktion des Systems:** Angenommen, das zu regelnde System hat die Übertragungsfunktion \( G(s) \). Für elektrische Antriebssysteme kann dies oft als ein PT2-Glied (Zweipol) dargestellt werden: \[ G(s) = \frac{K}{(Ts + 1)^2} \] wobei \( K \) die Verstärkung und \( T \) die Zeitkonstante des Systems sind. 2. **PID-Regler:** Der PID-Regler hat die Übertragungsfunktion: \[ G_R(s) = K_p \left( 1 + \frac{1}{T_i s} + T_d s \right) \] wobei \( K_p \) der Proportionalfaktor, \( T_i \) die Integrationszeit und \( T_d \) die Differenzierzeit sind. 3. **Offene Schleife:** Die offene Schleifenübertragungsfunktion ist das Produkt der Übertragungsfunktionen des Reglers und des Systems: \[ G_{OL}(s) = G_R(s) \cdot G(s) = K_p \left( 1 + \frac{1}{T_i s} + T_d s \right) \ot \frac{K}{(Ts + 1)^2} \] 4. **Symmetrisches Optimum:** Das Ziel des symmetrischen Optimums ist es, die Phasenreserve und die Bandbreite des Systems zu maximieren. Dies wird erreicht, indem die Polstellen der offenen Schleifenübertragungsfunktion symmetrisch um die imaginäre Achse verteilt werden. 5. **Bestimmung der Parameter:** Für das symmetrische Optimum werden die Parameter des PID-Reglers wie folgt bestimmt: \[ T_i = 2T \] \[ T_d = \frac{T}{2} \] \[ K_p = \frac{1}{K} \cdot \frac{T}{T_i} = \frac{1}{K} \cdot \frac{T}{2T} = \frac{1}{2K} \] 6. **Zusammenfassung:** Die Regelungsparameter des PID-Reglers für das symmetrische Optimum sind: \[ K_p = \frac{1}{2K} \] \[ T_i = 2T \] \[ T_d = \frac{T}{2} \] Diese Herleitung zeigt, wie die Parameter des PID-Reglers für das symmetrische Optimum bestimmt werden können, um ein optimales dynamisches Verhalten des Regelkreises zu erreichen.